Аппроксимация функций Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x). Аппроксимацией называется получение некой функции, приближенно описывающей какую-то функциональную зависимость f(x), заданную таблицей значений, либо заданную в виде, неудобном для вычислений. При этом эту функцию выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов.

• Аппроксимация Функций Программа
• Аппроксимация Функции Программа Скачать

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что функция fi (x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров c1, c2, cn, значения которых подбираются из некоторого условия близости f(x) и fi (x). Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и под- бора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций. В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации, среди которых наибольшее распространение получили интерполяция и среднеквадратичное приближение. Наиболее простой является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию линейно зависящую от параметров, т.

В виде обобщенного многочлена:. Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в n выбранных точках. Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени n-1, построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n.

Суть среднеквадратичной аппроксимации заключается в том, что параметры функции подбираются такими, чтобы обеспечить минимум квадрата расстояния между функциями f(x) и fi ( x, c ). Метод наименьших квадратов является частным случаем среднеквадратичной аппроксимации. При использовании метода наименьших квадратов аналогично задаче интерполяции в области значений x, представляющей некоторый интервал a, b, где функции f(x) и fi (x) должны быть близки, выбирают систему различных точек (узлов) x1., xm, число которых больше, чем количество искомых параметров. Далее, требуют чтобы сумма квадратов невязок во всех узлах была минимальна. Интерполяция общего вида Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.

Jan 16, 2012 - Для аспирантов, студентов и научных работников предлагаем программу и компоненту для Delphi 5,6,7.,XE2 аппроксимации таблично.

Аппроксимация Функций Программа

Все серии мистические истории с павлом костицыным. Поэтому, когда требуется производить многократные вычисления многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно вначале один раз найти коэффициенты. Коэффициенты находят прямым решением системы с, затем вычисляют его значения по алгоритму Горнера. Недостатком такого вида аппроксимации является необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений. Интерполяционный многочлен Лагранжа Лагранжем была предложена своя форма записи общего интерполяционного алгебраического многочлена в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.

Интерполяционный многочлен Ньютона Ньютоном была предложена форма записи общего интерполяционного алгебраического многочлена в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида.

Сохранить Расчет можно сохранить, чтобы использовать в другой раз, extension или share. Линейная регрессия Уравнение регрессии: Коэффициент a: Коэффициент b: Коэффициент линейной парной корреляции: Коэффициент детерминации: Средняя ошибка аппроксимации: Квадратичная регрессия Уравнение регрессии: Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c: Коэффициент корреляции:, где Коэффициент детерминации: Средняя ошибка аппроксимации: Кубическая регрессия Уравнение регрессии: Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d: Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации - используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии. Степенная регрессия Уравнение регрессии: Коэффициент b: Коэффициент a: Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии. Показательная регрессия Уравнение регрессии: Коэффициент b: Коэффициент a: Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии. Гиперболическая регрессия Уравнение регрессии: Коэффициент b: Коэффициент a: Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации - используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

• Аппроксимации и восполнения функций. Эти программы универсальны и их применение не ограничено сплайн-аппроксимацией.
• Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации. Если функция.
• MagicPlot - современная программа для анализа научных данных, построения графиков и нелинейной аппроксимации.

Логарифмическая регрессия Уравнение регрессии: Коэффициент b: Коэффициент a: Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации - используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии. Экспоненциальная регрессия Уравнение регрессии: Коэффициент b: Коэффициент a: Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации - используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии. Вывод формул Сначала сформулируем задачу: Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений). Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным. На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций. Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y. Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов.

Аппроксимация Функции Программа Скачать

В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей: Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b. S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных. Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений: Для функции вида частные производные равны:, Подставив производные, получим: Далее: Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше. Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.